Bài tập 9, § 9

Cho $X$ là một không gian tôpô, $(G_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ các đồ thị tương đương trong $X$, có tập hợp chỉ số là tiền thứ tự lọc tăng. Cho $R_\alpha$ là quan hệ $(x, y) \in G_\alpha$ và cho $\varphi_\alpha$ là ánh xạ chính tắc $X \to X/R_\alpha$. Ta giả sử rằng với $\alpha \leq \beta$, quan hệ $R_\beta$ kéo theo $R_\alpha$; khi đó cho $\varphi_{\alpha\beta}$ là ánh xạ chính tắc $X/R_\beta \to X/R_\alpha$; $(X/R_\alpha, \varphi_{\alpha\beta})$ là một hệ xạ ảnh các không gian tôpô; cho $Y = \lim (X/R_\alpha)$.

(a) Cho $g : X \to Y$ là ánh xạ liên tục $\lim \varphi_\alpha$. Bây giờ chứng minh rằng $g(X)$ là trù mật khắp nơi trong $Y$, và với mọi $x \in X$, $g^{-1}(g(x))$ là lớp của $x$ đối với quan hệ tương đương có đồ thị là giao của các $G_\alpha$.

(b) Ta giả sử rằng các quan hệ tương đương $R_\alpha$ là đóng, và với mọi $x \in X$ và mọi lân cận $V$ của $x$, tồn tại một chỉ số $\alpha$ sao cho lớp của $x$ đối với $R_\alpha$ được chứa trong $V$. Bây giờ chứng minh rằng dưới các điều kiện này $g$ là một ánh xạ mở của $X$ lên $g(X)$.

(c) Nếu ta giả sử rằng các lớp đối với các quan hệ $R_\alpha$ là các tập hợp đóng quasi-compact, thì $g$ là toàn ánh.