Exercice 6, § 2

Soient $X$ un espace uniforme, $\mathfrak{U}$ sa structure uniforme, $\tilde{\mathfrak{U}}$ la structure uniforme correspondante sur $\mathfrak{P}_0(X)$ (II, p. 34, exerc. 5). a) Montrer que l’application $x \mapsto \{x\}$ est un isomorphisme de l’espace uniforme $X$ sur un sous-espace de l’espace uniforme $\mathfrak{P}_0(X)$. b) Montrer que la structure uniforme induite par $\tilde{\mathfrak{U}}$ sur l’ensemble $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées non vides de $X$ est séparée, et que $\tilde{\mathfrak{U}}$ est l’image réciproque par l’application $M \mapsto \overline{M}$ de la structure induite sur $\mathfrak{F}(X)$ par $\tilde{\mathfrak{U}}$. c) Montrer que l’application $(M, N) \mapsto M \cup N$ de $\mathfrak{P}_0(X) \times \mathfrak{P}_0(X)$ dans $\mathfrak{P}_0(X)$ est uniformément continue. d) Soit $Y$ un second espace uniforme. Si $f : X \to Y$ est une application uniformément continue, montrer que l’application $M \mapsto f(M)$ de $\mathfrak{P}_0(X)$ dans $\mathfrak{P}_0(Y)$ est uniformément continue. e) Soit $\mathfrak{B}$ une partie compacte de l’ensemble $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées non vides de $X$, muni de la topologie induite par la topologie $\mathscr{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ déduite de $\mathfrak{U}$. Montrer que l’ensemble $\bigcup_{M \in \mathfrak{B}} M$ est fermé dans $X$.