Bài tập 6, § 2

Cho $X$ là một không gian đều, $\mathfrak{U}$ là cấu trúc đều của nó, $\tilde{\mathfrak{U}}$ là cấu trúc đều tương ứng trên $\mathfrak{P}(X)$ ($§ 1$, Bài tập 5). a) Chứng minh rằng ánh xạ $x \to \{x\}$ là một đẳng cấu của không gian đều $X$ lên một không gian con của không gian đều $\mathfrak{P}(X)$. b) Chứng minh rằng cấu trúc đều cảm sinh bởi $\tilde{\mathfrak{U}}$ trên tập hợp $\mathfrak{F}(X)$ các tập con đóng không rỗng của $X$ là Hausdorff, và rằng $\tilde{\mathfrak{U}}$ là ảnh ngược theo ánh xạ $M \to \overline{M}$ của cấu trúc đều cảm sinh bởi $\tilde{\mathfrak{U}}$ trên $\mathfrak{F}(X)$. c) Chứng minh rằng ánh xạ $(M, N) \to M \cup N$ từ $\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$ vào $\mathfrak{P}(X)$ là liên tục đều. d) Cho $Y$ là một không gian đều khác. Nếu $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục đều, chứng minh rằng ánh xạ $M \to f(M)$ từ $\mathfrak{P}(X)$ vào $\mathfrak{P}(Y)$ là liên tục đều. e) Cho $\mathfrak{B}$ là một tập con compact của tập hợp $\mathfrak{F}(X)$ các tập con đóng không rỗng của $X$, $\mathfrak{F}(X)$ mang tôpô cảm sinh bởi tôpô $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ cảm sinh bởi $\tilde{\mathfrak{U}}$. Chứng minh rằng tập hợp $\bigcup_{M \in \mathfrak{B}} M$ là đóng trong $X$.