Exercice 13, § 4

Soient X un espace localement compact, U une partie ouverte de X, B l’ensemble réunion de U et des composantes connexes relativement compactes de $\mathbf{C}U$; montrer que B est ouvert et est la réunion de U et des parties de $\mathbf{C}U$, à la fois ouvertes et compactes dans $\mathbf{C}U$. (Plonger X dans son compactifié d’Alexandroff $X' = X \cup \{ \omega \}$, observer que dans $X' - U$ la composante connexe du point $\omega$ est $\{ \omega \} \cup \mathbf{C}B$, et utiliser la prop. 6 de II, p. 32.)