Exercice 17, § 4

Soit $X$ un espace localement compact connexe. Pour toute partie compacte $K$ de $X$, non vide et distincte de $X$, montrer que toute composante connexe de $K$ rencontre la frontière de $K$ dans $X$ (utiliser le corollaire de II, p. 32). En déduire que pour tout ensemble ouvert $A$ relativement compact dans $X$, non vide et distinct de $X$, toute composante connexe de $A$ a au moins un point adhérent dans $\mathscr{C}A$.