Exercice 2, § 1

On appelle groupe semi-topologique un groupe G muni d’une topologie telle que, pour tout $a \in G$, les translations $x \mapsto ax$ et $x \mapsto xa$ soient continues dans G, et que la symétrie $x \mapsto x^{-1}$ soit continue dans G.$^1$

a) Pour qu’un filtre $\mathfrak{V}$ sur un groupe G soit filtre de voisinages de $e$ pour une topologie faisant de G un groupe semi-topologique, il faut et il suffit que $\mathfrak{V}$ satisfasse aux axiomes (GV$_{\text{II}}$) et (GV$_{\text{III}}$) de III, p. 3, et que la famille des filtres $\mathfrak{V}(x) = x.\mathfrak{V} = \mathfrak{V}.x \ (x \in G)$ satisfasse à l’axiome (V$_{\text{IV}}$) de I, p. 3.

b) Sur un groupe infini G, montrer que la topologie pour laquelle les ensembles ouverts sont $\varnothing$ et les complémentaires des parties finies de G, fait de G un groupe semi-topologique non séparé dans lequel $\{e\}$ est fermé, mais n’est pas compatible avec la structure de groupe de G.

c) Définir sur la droite numérique $\mathbf{R}$ une topologie plus fine que la topologie usuelle, pour laquelle $\mathbf{R}$ soit un groupe semi-topologique mais non un groupe topologique (considérer une suite décroissante $(r_n)$ de nombres $> 0$, tendant vers 0, et prendre les intersections des intervalles symétriques $] - a, a[$ et du complémentaire de l’ensemble des points $\pm r_n$).