Bài tập 2, § 1

Một nhóm nửa tôpô là một nhóm $G$ được trang bị một tôpô sao cho, với mỗi $a \in G$, các phép tịnh tiến $x \to ax$ và $x \to xa$ là liên tục trên $G$, và sao cho phép đối xứng $x \to x^{-1}$ là liên tục trên $G$ (*).

a) Một lọc $\mathfrak{B}$ trên một nhóm $G$ là lọc lân cận của $e$ trong một tôpô làm cho $G$ trở thành một nhóm nửa tôpô khi và chỉ khi $\mathfrak{B}$ thỏa mãn các tiên đề $(\mathrm{GV}_{\mathrm{II}})$ và $(\mathrm{GV}_{\mathrm{III}})$ và họ các lọc

thỏa mãn tiên đề $(\mathrm{V}_{\mathrm{IV}})$ của Chương I, § 1, no. 2.

b) Nếu $G$ là một nhóm vô hạn, hãy chứng minh rằng tôpô trong đó các tập mở là $\varnothing$ và các phần bù của các tập con hữu hạn của $G$ làm cho $G$ trở thành một nhóm nửa tôpô không Hausdorff trong đó $\{e\}$ là đóng, nhưng không tương thích với cấu trúc nhóm của $G$.

c) Hãy định nghĩa một tôpô trên $\mathbf{R}$, mịn hơn tôpô thông thường, sao cho $\mathbf{R}$ là một nhóm nửa tôpô nhưng không phải là nhóm tôpô [xét một dãy giảm $(r_n)$ các số $> 0$, tiến tới $0$, và lấy các giao của các khoảng đối xứng ]—$a, a[$ và của phần bù của tập các điểm $\pm r_n$. \

(*) Nếu $G$ là compact địa phương thì các điều kiện này kéo theo rằng tôpô của $G$ là tương thích với cấu trúc nhóm của nó (Chương X, § 3, Bài tập 25).