Exercice 4, § 1

On appelle groupe paratopologique un groupe G muni d’une topologie satisfaisant à l’axiome (GT$_{\text{I}}$) de III, p. 1.$^1$ a) Pour qu’un filtre $\mathfrak{V}$ sur un groupe G soit filtre de voisinages de $e$ pour une topologie faisant de G un groupe paratopologique, il faut et il suffit que $\mathfrak{V}$ satisfasse aux axiomes (GV$_{\text{I}}$) et

1 Lorsque G est localement compact, ces conditions entraînent que la topologie de G est compatible avec sa structure de groupe (X, § 3, exerc. 25).

(GV_{III}) de III, p. 3, et que l’on ait $e \in V$ pour tout $V \in \mathfrak{V}$; la topologie correspondante est alors unique. Pour qu’elle soit séparée, il faut et il suffit que l’intersection des ensembles $V . V^{-1}$, où $V$ parcourt $\mathfrak{V}$, soit réduite au point $e$.

b) Sur le groupe $\mathbf{Z}$ des entiers, soit, pour tout $n > 0$, $V_n$ l’ensemble formé de 0 et des entiers $m \geqslant n$. Montrer que les $V_n$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie non séparée sur $\mathbf{Z}$, faisant de $\mathbf{Z}$ un groupe paratopologique dans lequel $\{0\}$ est fermé.

c) Pour qu’un groupe paratopologique $G$ soit un groupe topologique, il faut et il suffit que pour toute partie $A$ de $G$, l’intersection des ensembles $AV$ (ou des ensembles $VA$) lorsque $V$ parcourt le filtre des voisinages de $e$, soit l’adhérence $\overline{A}$ de $A$ (pour voir que la condition est suffisante, prendre pour $A$ le complémentaire d’un voisinage ouvert de $e$).