Bài tập 4, § 1

Một nhóm paratôpô là một nhóm $G$ được trang bị một tôpô thỏa mãn tiên đề $(\mathrm{GT}_1) (*)$.

a) Một bộ lọc $\mathfrak{B}$ trên một nhóm $G$ là bộ lọc lân cận của $e$ đối với một tôpô làm cho $G$ trở thành một nhóm paratôpô khi và chỉ khi $\mathfrak{B}$ thỏa mãn các tiên đề $(\mathrm{GV}_1)$ và $(\mathrm{GV}_{\mathrm{III}})$ và $e \in V$ với mọi $V \in \mathfrak{B}$. Tôpô tương ứng khi đó là duy nhất; nó là Hausdorff khi và chỉ khi giao của các tập hợp $V.V^{-1}$, trong đó $V$ chạy qua $\mathfrak{B}$, gồm duy nhất điểm $e$.

b) Trên nhóm $\mathbf{Z}$ các số nguyên, cho $V_n$ là tập hợp gồm $0$ và mọi số nguyên $m \geq n$, với mỗi $n > 0$. Hãy chứng minh rằng các $V_n$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $0$ đối với một tôpô không Hausdorff trên $\mathbf{Z}$, và với tôpô này $\mathbf{Z}$ là một nhóm paratôpô trong đó $\{0\}$ là đóng.

c) Một nhóm paratôpô $G$ là một nhóm tôpô khi và chỉ khi, với mỗi tập con $A$ của $\overline{G}$, giao của các tập hợp $AV$ (hoặc của các tập hợp $VA$) là bao đóng $\overline{A}$ của $A$ (khi $V$ chạy qua bộ lọc lân cận của $e$) (để thấy rằng điều kiện là đủ, lấy $A$ là phần bù của một lân cận mở của $e$).