Exercice 10, § 2

Soit G un groupe quasi-topologique dans lequel tout ensemble réduit à un point est fermé et dont la composante neutre C est telle que $G/C$ soit fini. Montrer que si $G/C$ a k éléments, l’ensemble des conjugués $xax^{-1}$ d’un élément $a \in G$ est infini ou a au plus k éléments (considérer l’application $x \mapsto xax^{-1}$ de G sur cet ensemble). En particulier, si G est connexe, l’ensemble des conjugués de tout élément n’appartenant pas au centre de G est infini.