Exercice 17, § 2

Soit G le groupe additif des applications $n \mapsto f(n)$ de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{Q}$ telles que $\lim_{n \to \infty} f(n)$ existe dans $\mathbf{R}$. Pour tout $\alpha > 0$, soit $V_\alpha$ l’ensemble des $f \in G$ tels que $|f(n)| < \alpha$ pour tout $n \in \mathbf{N}$. Montrer que les $V_\alpha$ satisfont aux axiomes (GV_I) et (GV_{II}) et qu’avec la topologie définie par les $V_\alpha$, le groupe G est séparé et totalement discontinue. Soit H le sous-groupe des $f \in G$ tels que $\lim_{n \to \infty} f(n) = 0$. Montrer que H est fermé et que $G/H$ est isomorphe à $\mathbf{R}$, donc connexe.*