Bài tập 17, § 2

Cho $G$ là nhóm cộng của các ánh xạ $n \to f(n)$ từ $\mathbf{N}$ vào $\mathbf{Q}$ sao cho $\lim_{n \to \infty} f(n)$ tồn tại trong $\mathbf{R}$. Với mỗi $\alpha > 0$, cho $V_\alpha$ là tập hợp các $f \in G$ sao cho $|f(n)| < \alpha$ với mọi $n \in \mathbf{N}$. Chứng minh rằng các $V_\alpha$ thỏa mãn các tiên đề (GV_I) và (GV_{II}) và rằng với tôpô được xác định bởi các $V_\alpha$, nhóm $G$ là Hausdorff và hoàn toàn không liên thông. Cho $H$ là nhóm con của tất cả các $f \in G$ sao cho $\lim_{n \to \infty} f(n) = 0$. Chứng minh rằng $H$ là đóng và rằng $G/H$ là đẳng cấu với $\mathbf{R}$ và do đó liên thông. \*