Exercice 2, § 2

a) Étendre aux groupes semi-topologiques (III, p. 66, exerc. 2) les prop. 1, 2 et 4 (III, p. 7). (Pour voir que l’adhérence $\overline{H}$ d’un sous-groupe est un sous-groupe, remarquer d’abord que $s\overline{H} \subset \overline{H}$ pour tout $s \in H$.)

b) Soit G le groupe $\mathbf{Z}^{(\mathbf{N})}$, et soit $e_i \ (i \in \mathbf{N})$ l’élément de G dont toutes les coordonnées sont nulles sauf celle d’indice i, égale à 1. Pour tout $n \in \mathbf{N}$, soit $V_n$ l’ensemble des $z = (z_k) \in G$ tels que $z_k = 0$ pour $k \leq n$ et $z_k \geq 0$ pour $k > n$. Les $V_n$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie faisant de G un groupe paratopologique séparé. Soit H le sous-groupe de G engendré par les éléments $e_0 + e_n \ (n \geq 1)$; montrer que dans G, H est discret mais non fermé et que $\overline{H}$ n’est pas un sous-groupe de G.