Bài tập 2, § 2

a) Mở rộng các Mệnh đề 1, 2 và 4 cho các nhóm bán tôpô (§ 1, Bài tập 2). (Để chứng minh bao đóng $\overline{H}$ của một nhóm con $H$ là một nhóm con, bắt đầu bằng cách nhận xét rằng $SH \subset \overline{H}$ với mọi $s \in H$).

b) Cho $G$ là nhóm $\mathbf{Z}^{(\mathbf{N})}$, và cho $e_i$ ($i \in \mathbf{N}$) là phần tử của $G$ mà mọi tọa độ của nó đều bằng không ngoại trừ tọa độ thứ $i$, và tọa độ thứ $i$ của nó bằng 1. Với mỗi $n \in \mathbf{N}$, cho $V_n$ là tập hợp tất cả các $z = (z_k) \in G$ sao cho $z = 0$ với $k \leq n$ và $z_k \geq 0$ với $k > n$. Các $V_n$ tạo thành một hệ lân cận cơ bản của $0$ đối với một tôpô biến $G$ thành một nhóm paratôpô Hausdorff. Cho $H$ là nhóm con của $G$ sinh bởi các phần tử $e_0 + e_n \ (n \geq 1)$ Chứng minh rằng $H$ là rời rạc nhưng không đóng trong $G$, và rằng $\overline{H}$ không phải là một nhóm con của $G$.