Exercice 21, § 2

Soient G un groupe topologique, H et K deux sous-groupes de G tels que $G = HK$ et $H \cap K = \{e\}$. Pour tout $x \in G$, on peut écrire d’une seule manière $x = f(x)g(x)$, où $f(x) \in H$ et $g(x) \in K$; pour que l’application $(y, z) \mapsto yz$ de $H \times K$ sur G soit un homéomorphisme, il faut et il suffit que l’une des applications $f, g$ soit continue. Montrer que cette condition est toujours remplie si l’un des sous-groupes H, K est compact et fermé, et l’autre fermé (remarquer que si H et K sont fermés, $f$ et $g$ ne peuvent avoir de valeur d’adhérence distincte de e lorsque x tend vers e dans G) (cf. EVT, IV, § 2, exerc. 19).