Bài tập 21, § 2

Cho $G$ là một nhóm tôpô và cho $H, K$ là hai nhóm con của $G$ sao cho $G = HK$ và $H \cap K = \{e\}$. Mỗi $x \in G$ có thể được viết duy nhất dưới dạng $x = f(x)g(x)$, trong đó $f(x) \in H$ và $g(x) \in K$. Ánh xạ $(y, z) \mapsto yz$ từ $H \times K$ lên $G$ là một phép đồng phôi khi và chỉ khi một trong các ánh xạ $f, g$ là liên tục. Chứng minh rằng điều kiện này luôn được thỏa mãn nếu một trong các nhóm con $H, K$ là compact và đóng, còn nhóm con kia là đóng (nhận xét rằng nếu $H$ và $K$ là đóng, $f$ và $g$ không thể có điểm tụ nào khác ngoài $e$ khi $x$ tiến tới $e$ trong $G$).