Exercice 24, § 2

Soient G et G’ deux groupes connexes localement isomorphes.

a) Soit $f$ un isomorphisme local de G à G’, défini dans un voisinage V de l’élément neutre e de G; soit H le sous-groupe du produit $G \times G'$ engendré par l’ensemble des points $(x, f(x))$, où x parcourt V. On considère sur H la base de filtre formée des images, par l’application $x \mapsto (x, f(x))$, des voisinages de e contenus dans V. Montrer que cette base de filtre est un système fondamental de voisinages de l’élément neutre de H pour une topologie $\mathscr{T}$ compatible avec la structure de groupe de H.

b) Montrer qu’il existe deux sous-groupes distingués discrets K, K’ contenus dans le centre de H, tels que G soit isomorphe à H/K et G’ à H/K’ (utiliser l’exerc. 5 b) de III, p. 68).

c) On prend pour G et G’ le groupe T, pour f l’isomorphisme local qui, à tout point φ(x), où −$\frac{1}{4} \leq x \leq \frac{1}{4}$ (φ homomorphisme canonique de $\mathbf{R}$ sur $T = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$) fait correspondre φ(θx), où θ est un nombre irrationnel tel que $0 < \theta < 1$. Montrer que pour cet isomorphisme local, la topologie $\mathscr{T}$ définie sur H est distincte de la topologie induite sur H par la topologie produit sur G × G’.