Bài tập 24, § 2

Cho $G$ và $G'$ là hai nhóm liên thông đẳng cấu địa phương. a) Cho $f$ là một đẳng cấu địa phương của $G$ với $G'$, được xác định trên một lân cận $V$ của phần tử đơn vị của $G$. Cho $H$ là nhóm con của tích $G \times G'$ sinh bởi tập hợp các điểm $(x, f(x))$ trong đó $x \in V$. Xét cơ sở lọc trên $H$ gồm các ảnh của các lân cận của $e$ được chứa trong $V$ qua ánh xạ $x \to (x, f(x))$. Chứng minh rằng cơ sở lọc này là một hệ cơ sở các lân cận cơ bản của phần tử đơn vị của $H$ đối với một tôpô $\mathfrak{T}$ tương thích với cấu trúc nhóm của $H$. b) Chứng minh rằng tồn tại hai nhóm con chuẩn rời rạc $K, K'$ được chứa trong tâm của $H$, sao cho $G$ đẳng cấu với $H/K$ và $G'$ đẳng cấu với $H/K'$ [sử dụng Bài tập 5 b)]. c) Lấy $G$ và $G'$ mỗi nhóm đều là nhóm $T$; cho $\varphi$ là đồng cấu chính tắc của $\mathbf{R}$ lên $T = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$, và cho $f$ là đẳng cấu địa phương ánh xạ mỗi điểm $\varphi(x)$, trong đó $-1/4 \leq x \leq 1/4$, thành $\varphi(\theta x)$, $\theta$ là một số vô tỉ sao cho $0 < \theta < 1$. Chứng minh rằng đối với đẳng cấu địa phương này, tôpô $\mathfrak{T}$ được xác định trên $H$ khác với tôpô cảm sinh trên $H$ bởi tôpô tích trên $G \times G'$.