Exercice 26, § 2

Soit $(G_i)_{i \in I}$ une famille de groupes topologiques, et pour chaque $i \in I$, soit $K_i$ un sous-groupe ouvert distingué de $G_i$. On désigne par $\mathfrak{V}$ le filtre des voisinages de l’élément neutre dans le groupe topologique produit $K = \prod_{i \in I} K_i$. Montrer que dans le groupe produit $G = \prod_{i \in I} G_i$, $\mathfrak{V}$ est une base de filtre de voisinages de e pour une topologie compatible avec la structure de groupe de G. Muni de cette topologie, on dit que G est le produit local des $G_i$ (relatif aux $K_i$); K est alors un sous-groupe distingué ouvert de G, et G/K est isomorphe au produit (discret) des groupes $G_i / K_i$. Si, pour tout $i \in I$, $K'_i$ est un second sous-groupe distingué ouvert de $G_i$, pour que les topologies de produit local sur G, relatives aux familles $(K_i)$ et $(K'_i)$, soient les mêmes, il faut et il suffit que $K'_i = K_i$ sauf pour un nombre fini d’indices.

Pour tout $\kappa \in I$, soit $G'_\kappa$ le sous-groupe distingué de G formé des $x = (x_i)$ tels que $x_i = e_i$ pour $i \neq \kappa$; muni de la topologie induite par une topologie de produit local sur G, $G'_\kappa$ est canoniquement isomorphe à $G_\kappa$. L’adhérence dans G du sous-groupe engendré par les $G'_i$ est le sous-groupe distingué $G_0$ de G formé des $x = (x_i)$ tels que $x_i \in K_i$ sauf pour un nombre fini d’indices. On dit que $G_0$ est le produit direct local des $G_i$ (relatif aux $K_i$); $G_0 / K$ est alors un groupe discret isomorphe à la somme restreinte (A, I, p. 45) des $G_i / K_i$.