Bài tập 26, § 2

Cho $(G_i)_{i \in I}$ là một họ các nhóm tôpô, và với mỗi $i \in I$ cho $K_i$ là một nhóm con chuẩn mở của $G_i$. Gọi $\mathfrak{B}$ là bộ lọc lân cận của phần tử đơn vị trong nhóm tôpô tích $K = \prod_{i \in I} K_i$. Hãy chỉ ra rằng trong nhóm tích $G = \prod_{i \in I} G_i$, $\mathfrak{B}$ là một cơ sở của bộ lọc lân cận của $e$ đối với một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm của $G$. Nhóm $G$, được trang bị tôpô này, được gọi là tích địa phương của các $G_i$ (đối với các $K_i$); khi đó $K$ là một nhóm con chuẩn mở của $G$, và $G/K$ đẳng cấu với tích (rời rạc) của các nhóm $G_i/K_i$. Nếu, với mỗi $i \in I$, $K'_i$ là một nhóm con chuẩn mở khác của $G_i$, thì các tôpô tích địa phương trên $G$, được xác định bởi các họ $(K_i)$ và $(K'_i)$, trùng nhau khi và chỉ khi $K'_i = K_i$ với mọi trừ một số hữu hạn các chỉ số.

Với mỗi $x \in I$, cho $G'_k$ là nhóm con chuẩn của $G$ gồm tất cả các $x = (x_i)$ sao cho $x_i = e_i$ bất cứ khi nào $i \neq x$. Khi đó $G'_x$, với tôpô cảm sinh bởi một tôpô tích địa phương trên $G$, đẳng cấu một cách chính tắc với $G_x$. Bao đóng trong $G$ của nhóm con sinh bởi các $G'_i$ là nhóm con chuẩn $G_0$ của $G$, gồm tất cả các $x = (x_i)$ sao cho $x_i \in K_i$ với mọi trừ một số hữu hạn các chỉ số. $G_0$ được gọi là tích trực tiếp địa phương của các $G_i$ (đối với các $K'$); khi đó $G_0/K$ là một nhóm rời rạc đẳng cấu với tích trực tiếp của các $G_i/K_i$.