Exercice 29, § 2

Soient $G$ le groupe topologique $\mathbf{R}$, $\varphi$ l’application canonique de $\mathbf{R}$ sur son groupe quotient $\mathbf{T} = \mathbf{R}/\mathbf{Z}$, $\theta$ un nombre irrationnel. Le groupe $G$ opère continûment dans $E = \mathbf{T}^2$ par la loi $(s, (x, y)) \mapsto (x + \varphi(s), y + \varphi(\theta s))$. Montrer que le stabilisateur de tout point $z \in E$ est réduit à $0$, que l’orbite de $z$ est partout dense dans $E$ et n’est pas un espace homogène topologique relativement à $G$*