Exercice 30, § 2

On dit qu’un groupe topologique $G$ n’a pas de sous-groupes arbitrairement petits s’il existe un voisinage $V$ de $e$ tel que $\{e\}$ soit le seul sous-groupe de $G$ contenu dans $V$.

a) Soient $G$ un groupe topologique, $H$ un sous-groupe distingué. Montrer que si $H$ et $G/H$ n’ont pas de sous-groupes arbitrairement petits, il en est de même de $G$.

b) Déduire de $a$ que si $H_1, H_2$ sont deux sous-groupes distingués d’un groupe topologique $G$ tels que $G/H_1$ et $G/H_2$ n’aient pas de sous-groupes arbitrairement petits, $G/(H_1 \cap H_2)$ n’a pas de sous-groupes arbitrairement petits.