Exercice 11, § 4

Soient $G$ un groupe topologique, $H$ et $K$ deux sous-groupes fermés de $G$. a) Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes: 1° $H \times K$ opère proprement dans $G$ pour la loi externe $((h, k), s) \mapsto hsk^{-1}$; 2° $H$ opère proprement dans l’espace homogène $G/K$; 3° $K$ opère proprement dans l’espace homogène $G/H$. b) On suppose $G$ localement compact; les conditions (équivalentes) de $a$ sont aussi équivalentes à la suivante: pour tout couple de parties compactes $A, B$ de $G$, l’intersection $HA \cap BK$ est compacte. En particulier ces conditions sont vérifiées si l’un des sous-groupes $H, K$ est compact. c) On suppose $G$ localement compact. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes: 1° pour tout $x \in G$, l’application $h \mapsto h.xK$ de $H$ dans $G/K$ est propre; 2° pour tout $x \in G$, l’application $k \mapsto k.xH$ de $K$ dans $G/H$ est propre; 3° pour tout $x \in G$ et toute partie compacte $A$ de $G$, $Hx \cap AK$ est compacte; 4° pour tout $x \in G$ et toute partie compacte $A$ de $G$,

Kx ∩ AH est compacte. Si l’un des sous-groupes H, K est distingué ou si les structures uniformes droite et gauche de G sont identiques (III, p. 73, exerc. 3), montrer que ces conditions entraînent celles de a).