Bài tập 11, § 4

Cho $G$ là một nhóm tôpô và cho $H, K$ là hai nhóm con đóng của $G$.

a) Chứng minh rằng ba điều kiện sau là tương đương: (i) $H \times K$ tác động thực sự lên $G$ theo phép toán ngoài $((h, k), s) \to hsk^{-1}$; (ii) $H$ tác động thực sự lên không gian thuần nhất $G/K$; (iii) $K$ tác động thực sự lên không gian thuần nhất $G/H$.

b) Nếu $G$ là địa phương compact, thì các điều kiện (tương đương) của a) cũng tương đương với điều kiện sau: với mọi cặp tập con compact $A, B$ của $G$, giao $HA \cap BK$ là compact. Đặc biệt các điều kiện này được thỏa mãn nếu một trong các nhóm con $H, K$ là compact.

c) Giả sử rằng $G$ là địa phương compact, và chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (i) với mỗi $x \in G$ ánh xạ $h \to h.xK$ của $H$ vào $G/K$ là thực sự; (ii) với mỗi $x \in G$ ánh xạ $k \to k.xH$ của $K$ vào $G/H$ là thực sự; (iii) với mỗi $x \in G$ và mỗi tập con compact $A$ của $G$, $Hx \cap AK$ là compact; (iv) với mỗi $x \in G$ và mỗi tập con compact $A$ của $G$, $Kx \cap AH$ là compact. Nếu một trong các nhóm con $H, K$ là chuẩn hoặc nếu các cấu trúc đều trái và phải trên $G$ trùng nhau (§ 3, Bài tập 3), chứng minh rằng các điều kiện này kéo theo các điều kiện của a).