Exercice 19, § 4

Soient $G$ un groupe localement compact, $G_0$ la composante neutre de $G$, $H$ un sous-groupe fermé de $G$. Montrer que si l’espace homogène $G/H$ est localement connexe, $G_0H$ est ouvert dans $G$. (Soit $H_0$ la composante neutre de $H$; il existe un sous-groupe $L$ de $H$, ouvert dans $H$ et tel que $L/H_0$ soit compact (III, p. 36, cor. 1); montrer d’une part que $LG_0$ est fermé dans $G$ en utilisant III, p. 28, cor. 1; d’autre part, montrer que $LG_0$ est ouvert dans $G$ en considérant l’image canonique de $G_0$ dans $G/L$, et en utilisant le cor. 3 de I, p. 36 et le fait qu’un espace quotient d’un espace localement connexe est localement connexe (I, p. 85, prop. 12)).