Bài tập 19, § 4

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương, cho $G_0$ là thành phần đơn vị của $G$, và cho $H$ là một nhóm con đóng của $G$. Chứng minh rằng nếu không gian thuần nhất $G/H$ là liên thông địa phương, thì $G_0H$ là mở trong $G$. Cho $H_0$ là thành phần đơn vị của $H$; khi đó tồn tại một nhóm con mở $L$ của $H$ sao cho $L/H_0$ là compact (no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 14); chứng minh rằng một mặt $LG_0$ là đóng trong $G$, bằng cách sử dụng Hệ quả 1 của Mệnh đề 1, và mặt khác $LG_0$ là mở trong G, bằng cách xét ảnh chính tắc của $G_0$ trong $G/L$ và sử dụng Hệ quả 3 của Mệnh đề 14 cùng với sự kiện rằng một không gian thương của một không gian liên thông địa phương là liên thông địa phương [Chương I, § 11, no. 6, Mệnh đề 12)].