Exercice 21, § 4

Soit $M$ un espace compact muni d’une structure de monoïde telle que: 1° l’application $(x, y) \mapsto xy$ de $M \times M$ dans $M$ est continue; 2° pour tout $a \in M$, la relation $ax = ay$ entraîne $x = y$.

a) Montrer que si $F$ est une partie fermée de $M$ et $x$ un élément de $M$ tels que $xF \subset F$, on a $xF = F$. (Soit $y$ une valeur d’adhérence de la suite $(x^n)_{n \geq 1}$ dans $M$; montrer que $yF = \bigcap_{n \geq 1} x^n F$, et en déduire que $yx F = yF$).

b) Déduire de a) que si en outre, pour tout $a \in M$, la relation $xa = ya$ entraîne $x = y$, $M$ est un groupe topologique compact (montrer d’abord qu’il existe un élément neutre $e$; pour voir que $x \mapsto x^{-1}$ est continue, raisonner par l’absurde en considérant un ultrafiltre sur $M$ qui converge vers $e$).