Bài tập 21, § 4

Cho M là một không gian compact được trang bị một cấu trúc nửa nhóm sao cho (i) ánh xạ $(x, y) \to xy$ từ $M \times M$ vào $M$ là liên tục; (ii) với mỗi $a \in M$ quan hệ $ax = ay$ suy ra $x = y$.

a) Chứng minh rằng nếu F là một tập con đóng của M và $x \in M$ là phần tử sao cho $xF \subset F$, thì $xF = F$. [Cho $y$ là một điểm tụ của dãy $(x^n)_{n \geq 1}$ trong M; chứng minh rằng $yF = \bigcap_{n \geq 1} x^n F$, và suy ra rằng $yx F = yF$].

b) Suy ra từ a) rằng nếu, ngoài ra, với mỗi $a \in M$ quan hệ $xa = ya$ suy ra $x = y$, thì M là một nhóm tôpô compact. (Bắt đầu bằng cách chỉ ra rằng tồn tại một phần tử đơn vị e; để chỉ ra rằng $x \to x^{-1}$ là liên tục, hãy lập luận bằng phản chứng, xét một siêu lọc trên M hội tụ về e).