Exercice 23, § 4

Soient p un nombre premier, (G_n) une suite infinie de groupes topologiques identiques au groupe discret $\mathbf{Z}/(p^2)$, H_n le sous-groupe $(p)/(p^2)$ de G_n. Soit G le produit direct local des G_n relatif aux H_n (III, p. 71, exerc. 26); G est un groupe localement compact non compact. Montrer que l’homomorphisme continu $u : x \mapsto px$ de G dans lui-même n’est pas un morphisme strict de G sur $u(G)$, et que $u(G)$ n’est pas fermé dans G.