Exercice 7, § 4

Soient $G$ un groupe séparé opérant continûment dans un espace localement compact $E$. On suppose que: $1^\circ$ pour toute partie compacte $K$ de $E$, la restriction à $G \times K$ de l’application $(s, x) \mapsto s.x$ est une application fermée de $G \times K$ dans $E$; $2^\circ$ pour tout $x \in E$, $s \mapsto s.x$ est une application propre de $G$ dans $E$. Montrer que $G$ opère proprement dans $E$ (utiliser la prop. 12 (III, p. 34)).