Exercice 9, § 4

Soit $G$ un groupe topologique opérant continûment dans deux espaces $E, E'$, et soit $f : E \to E'$ une application continue compatible avec l’application identique de $G$ (III, p. 10). Soit $\bar{f} : E/G \to E'/G$ l’application continue déduite de $f$ par passage aux quotients. a) Montrer que si $f$ est ouverte (resp. fermée, propre, injective, surjective), il en est de même de $\bar{f}$. (Pour voir que si $f$ est propre, il en est de même de $\bar{f}$, montrer que l’image réciproque d’un point de $E'/G$ par $\bar{f}$ est quasi-compacte). b) On suppose que $G$ opère proprement et librement dans $E$ et $E'$. Montrer que si $\bar{f}$ est propre, il en est alors de même de $f$ (observer que la restriction de $f$ à une orbite $G.x$ est un homéomorphisme sur $G.f(x)$).