Bài tập 9, § 4

Cho $G$ là một nhóm tôpô tác động liên tục lên hai không gian $X$ và $X'$, và cho $f : X \to X'$ là một ánh xạ liên tục tương thích với ánh xạ đồng nhất của $G$ ($\S$ 2, no. 4). Cho $\bar{f} : X/G \to X'/G$ là ánh xạ liên tục cảm sinh bởi $f$ trên các không gian thương.

a) Chứng minh rằng nếu $f$ là mở (tương ứng đóng, thực sự, đơn ánh, toàn ánh) thì $\bar{f}$ cũng vậy. (Để chứng minh rằng nếu $f$ là thực sự thì $\bar{f}$ là thực sự, hãy chứng minh rằng ảnh ngược của một điểm của $X'/G$ qua $\bar{f}$ là gần compact.)

b) Giả sử rằng $G$ tác động thực sự và tự do lên cả $X$ và $X'$. Chứng minh rằng nếu $\bar{f}$ là thực sự thì $f$ cũng vậy [nhận xét rằng hạn chế của $f$ lên một quỹ đạo $G.x$ là một đồng phôi lên $G.f(x)$].