Exercice 2, § 5

Soit $(x_i)_{i \in I}$ une famille de points d’un groupe commutatif séparé G. Pour toute partie finie H de I, soit $s_H = \sum_{i \in H} x_i$, et soit A l’ensemble des valeurs d’adhérence de l’application $H \mapsto s_H$ suivant l’ensemble ordonné filtrant $\mathfrak{F}(I)$. D’autre part, pour toute partie finie J de I, soit $\Phi(J)$ l’adhérence de l’ensemble des $s_H$, où H parcourt l’ensemble des parties finies de I telles que $H \cap J = \varnothing$. Montrer que si $A \neq \varnothing$, l’ensemble $A - A$ (ensemble des $x - x'$, où $x \in A,\ x' \in A$) est identique à l’ensemble $B = \bigcap_{J \in \mathfrak{F}(I)} \Phi(J)$. Montrer qu’on a en tout cas $B + B \subset B$. En déduire que si A n’est pas vide, B est un sous-groupe fermé de G et A une classe suivant ce sous-groupe.