Exercice 6, § 5

Soit $(x_{mn})$ une suite double de points d’un groupe commutatif séparé G, satisfaisant aux conditions suivantes : 1° la série définie par la suite $(x_{mn})_{n \in \mathbf{N}}$ est convergente pour tout $m \geq 0$; soit $y_m$ sa somme ; 2° si on pose $r_{mn} = \sum_{p=n}^{\infty} x_{mp}$, la série définie par la suite $(r_{mn})_{m \in \mathbf{N}}$ est convergente pour tout $n \geq 0$; on désigne sa somme par $t_n$. Montrer que pour tout $n \geq 0$, la série définie par la suite $(x_{mn})_{m \in \mathbf{N}}$ est convergente ; soit $z_n$ sa somme. Pour que la série de terme général $y_m$ ait même somme que la série de terme général $z_n$, il faut et il suffit que $t_n$ tende vers 0 lorsque $n$ augmente indéfiniment.