Bài tập 6, § 5

a) Cho $\sigma$ là một phép hoán vị của $\mathbf{N}$ và cho $\varphi(n)$ là số nhỏ nhất các khoảng của $\mathbf{N}$ mà hợp của chúng là $\sigma([0, n])$. Giả sử rằng $\varphi(n)$ là bị chặn khi $n$ chạy qua $\mathbf{N}$. Khi đó nếu $(u_n)$ là một chuỗi hội tụ bất kỳ mà các số hạng của nó thuộc một nhóm giao hoán Hausdorff $G$, thì chuỗi $(u_{\sigma(n)})$ hội tụ và có cùng tổng với $(u_n)$.

\* b) Giả sử rằng $\varphi(n)$ không bị chặn trong $\mathbf{N}$. Xây dựng một chuỗi $(u_n)$ mà các số hạng của nó thuộc nhóm cộng $\mathbf{R}$ và chuỗi này hội tụ trong $\mathbf{R}$ nhưng sao cho chuỗi $(u_{\sigma(n)})$ không hội tụ. [Xét một dãy tăng ngặt $(m_k)$ các số nguyên, được định nghĩa bằng quy nạp theo $k$, thỏa mãn các điều kiện sau : (i) nếu $[0, n_k]$ là khoảng lớn nhất của $\mathbf{N}$ có đầu mút trái $0$ được chứa trong $\sigma([0, m_k])$, thì

(ii) $\varphi(m_k) \geq k + 1$. Sau đó định nghĩa $u_n$ một cách thích hợp với $n_k < n < n_{k+1}$. Tổng quát hóa cho trường hợp một nhóm giao hoán Hausdorff đầy đủ $G$ được sinh bởi mọi lân cận của $0$. \*