Exercice 11, § 6

a) On dit qu’un anneau topologique $A$ est un anneau de Gelfand si $A^*$ est ouvert dans $A$ et si la topologie induite sur $A^*$ par celle de $A$ est compatible avec sa structure de groupe multiplicatif. Tout corps topologique séparé est un anneau de Gelfand (cf. III, p. 82, exerc. 20 e)). b) Montrer que si $A$ est un anneau de Gelfand, il en est de même de tout anneau de matrices $\mathbf{M}_n(A)$, muni de la topologie produit (sur $A^{n^2}$) (raisonner par récurrence sur $n$).