Exercice 19, § 6

a) Soit $K$ un corps muni d’une topologie séparée $\mathscr{T}$ compatible avec sa structure d’anneau; montrer qu’il existe un voisinage $V$ de 0 dans $K$ tel que $(cV) \cup (cV)^{-1} = K^*$ (ce qui équivaut à $V \cap (V \cap K^*)^{-1} = \varnothing$).

b) On suppose en outre $\mathscr{T}$ non discrète. Montrer que pour tout voisinage $U$ de 0 dans $K$, on a, en posant $U^* = U \cap K^*, U^*(U^*)^{-1} = K^*$.