Exercice 2, § 6

a) Dans un anneau topologique A, soit $a$ un idéal à gauche discret; montrer que pour tout $x \in a$, l’annulateur à gauche de $x$ dans A est ouvert. En déduire que si A est un anneau non discret sans diviseur de 0, il ne contient aucun idéal (à gauche ou à droite) discret autre que $\{0\}$.

b) Soit A un anneau topologique localement connexe, et soit $a$ un idéal à gauche totalement discontinu; montrer que pour tout $x \in a$, l’annulateur à gauche de $x$ dans A est ouvert. En déduire que si A n’admet pas de diviseur de 0, il ne contient aucun idéal (à gauche ou à droite) totalement discontinu autre que $\{0\}$.