Exercice 22, § 6

Dans un corps K muni d’une topologie séparée $\mathscr{T}$ compatible avec sa structure d’anneau, on dit qu’un ensemble R contenant 0 est rétroborné si $(\mathscr{C}R)^{-1}$ est borné. On dit que $\mathscr{T}$ est localement rétrobornée s’il existe un système fondamental de voisinages rétrobornés de 0 pour $\mathscr{T}$.

a) Une topologie localement rétrobornée $\mathscr{T}$ est localement bornée, et est un élément minimal dans l’ensemble des topologies séparées compatibles avec la structure d’anneau de K ; en outre $\mathscr{T}$ est compatible avec la structure de corps de K (utiliser l’exerc. 19 a) de III, p. 82).

b) On suppose désormais que $\mathscr{T}$ est une topologie localement rétrobornée. Montrer que pour tout voisinage V de 0 dans K, $x \mapsto x^{-1}$ est uniformément continue dans $\mathscr{C}V$. En déduire que l’anneau complété $\hat{K}$ de K est un corps topologique dont la topologie est localement rétrobornée.

c) Tout voisinage de 0 pour $\mathscr{T}$ contient un voisinage V de 0 tel que $E(V) = (\mathscr{C}V) \cap (\mathscr{C}V)^{-1}$ ne soit pas vide. Montrer que sur $E(V)$ les trois structures uniformes induites par la structure uniforme additive et les structures uniformes multiplicatives de K sont identiques. En déduire que, si K est complet, les structures uniformes multiplicatives sur $K^*$ sont des structures uniformes d’espace complet.

d) Montrer qu’un élément $x \in K^*$ est, ou bien topologiquement nilpotent, ou bien tel que $x^{-1}$ soit topologiquement nilpotent, ou bien tel que la suite $(x^n)_{n \in \mathbf{Z}}$ soit bornée, les trois cas s’excluant mutuellement. (En considérant un voisinage borné U tel que $UU \subset U$ (III, p. 82, exerc. 20 d)), montrer que si 0 est valeur d’adhérence de la suite $(x^n)_{n \geq 0}$, x est topologiquement nilpotent). S’il existe des éléments $\neq 0$ de K topologiquement nilpotents, montrer que l’ensemble B formé de 0 et des $x \in K^*$ tels que $x^{-1}$ ne soit pas topologiquement nilpotent, est un voisinage borné de 0 dans K, invariant par tout automorphisme intérieur (utiliser l’exerc. 21 b)); B contient alors tous les voisinages bornés U de 0 tels que $UU \subset U$; parmi ceux de ces voisinages qui sont invariants par tous les automorphismes intérieurs, il y en a un plus grand que tous les autres, qui est identique à B lorsque le groupe des commutateurs de $K^*$ est borné, et en particulier lorsque K est commutatif.

e) Si U est un voisinage symétrique borné de 0 dans K tel que $UU \subset U$, il existe $b \in U^*$ tel que $K^* = U^* \cup ((U^*)^{-1}b)$. Soit $a \in U^*$ tel que $Ua \subset bU$, et supposons que la suite $(a^{-n})_{n \geq 0}$ soit bornée. Montrer que l’ensemble V des $x \in K$ tels que $xU$ soit contenu dans la réunion des $Ua^{-n}$ est un voisinage borné de 0 tel que $VV \subset V$ et $K^* = V^* \cup (V^*)^{-1}$.

f) On suppose que dans K il n’y ait aucun élément topologiquement nilpotent $\neq 0$. Montrer qu’il existe un voisinage borné de 0 dans K qui est un sous-anneau A de K tel que $K^* = A^* \cup (A^*)^{-1}$. (Partir d’un voisinage borné V de 0 tel que $K^* = V^* \cup (V^*)^{-1}$ et

VV $\subset V$ (voir e)); si $c \in V^*$ est tel que $c(V + V) \subset V$, observer que l’anneau A engendré par V est contenu dans la réunion des $Vc^{-n}$ ($n \geqslant 0$).