Bài tập 22, § 6

Trong một vành chia $K$ được trang bị một tôpô Hausdorff $\mathfrak{T}$ tương thích với cấu trúc vành của $K$, một tập hợp $R$ chứa $o$ được gọi là bị chặn ngược nếu $(\mathbf{C}R)^{-1}$ là bị chặn. $\mathfrak{T}$ được gọi là địa phương bị chặn ngược nếu có một hệ cơ bản các lân cận bị chặn ngược của $o$ trong $K$ đối với $\mathfrak{T}$.

a) Một tôpô $T$ địa phương bị chặn ngược là địa phương bị chặn, và là một phần tử cực tiểu trong tập hợp tất cả các tôpô Hausdorff tương thích với cấu trúc vành của $K$; hơn nữa $\mathfrak{T}$ tương thích với cấu trúc vành chia của $K$ [dùng Bài tập 19 a)].

b) Từ nay, trong bài tập này, giả sử rằng $\mathfrak{T}$ là một tôpô địa phương bị chặn ngược trên $K$. Chứng minh rằng, với mọi lân cận $V$ của $o$ trong $K$, $x \to x^{-1}$ là liên tục đều trên $\mathbf{C}V$. Từ đó chứng minh rằng phần đầy đủ $\hat{K}$ của $K$ là một vành chia tôpô mà tôpô của nó là địa phương bị chặn ngược.

c) Mọi lân cận của $o$ trong $K$ (đối với $\mathfrak{T}$) đều chứa một lân cận $V$ của $o$ sao cho $E(V) = (\mathbf{C}V) \cap (\mathbf{C}V)^{-1}$ là khác rỗng. Chứng minh rằng ba cấu trúc đều trên $E(V)$, được cảm sinh bởi cấu trúc đều cộng tính và hai cấu trúc đều nhân tính trên $K$, trùng nhau. Suy ra rằng, nếu $K$ là đầy đủ, thì $K^*$ là đầy đủ đối với một trong hai cấu trúc đều nhân tính.

d) Chứng minh rằng nếu $x$ là một phần tử của $K^*$ thì đúng một trong ba mệnh đề sau đây là đúng: (i) $x$ là lũy linh tôpô; (ii) $x^{-1}$ là lũy linh tôpô; (iii) dãy $(x^n)_{n \in \mathbf{Z}}$ là bị chặn. [Bằng cách xét một lân cận bị chặn $U$ của $o$ sao cho $UU \subset U$

(Bài tập 20 d)), chứng minh rằng nếu $o$ là một điểm tụ của dãy $(x^n)_{n \geq 0}$, thì $x$ là lũy linh tôpô.] Nếu $K$ chứa các phần tử lũy linh tôpô khác không, chứng minh rằng tập hợp $B$, gồm $o$ và tất cả các $x \in K^*$ sao cho $x^{-1}$ không là lũy linh tôpô, là một lân cận bị chặn của $o$ trong $K$ bất biến đối với mọi tự đẳng cấu nội [dùng Bài tập 21 b)]; khi đó $B$ chứa mọi lân cận bị chặn $U$ của $o$ sao cho $UU \subset U$; tập hợp các lân cận như vậy bất biến đối với mọi tự đẳng cấu nội có một phần tử lớn nhất, trùng với $B$ nếu nhóm con giao hoán tử của $K^*$ là bị chặn, đặc biệt nếu $K$ là một trường.

e) Nếu $U$ là một lân cận đối xứng bị chặn của o trong $K$ sao cho $UU \subset U$, thì tồn tại $b \in U^*$ sao cho $K^* = U^* \cup ((U^*)^{-1} b)$. Lấy $a \in U^*$ sao cho $Ua \subset bU$, và giả sử rằng dãy $(a^{-n})_{n \geq 0}$ bị chặn. Chứng minh rằng tập hợp $V$ của mọi $x \in K$ sao cho $xU$ được chứa trong hợp của các tập hợp $Ua^{-n}$ là một lân cận bị chặn của o sao cho $VV \subset V$ và $K^* = V^* \cup (V^*)^{-1}$.

f) Giả sử rằng $K$ không chứa các phần tử lũy linh tôpô khác không. Chứng minh rằng có một lân cận bị chặn của o trong $K$ là một vành con $A$ của $K$ sao cho $K^* = A^* \cup (A^*)^{-1}$. [Bắt đầu với một lân cận bị chặn $V$ của o sao cho $K^* = V^* \cup (V^*)^{-1}$ (xem e)]; nếu $c \in V^*$ sao cho $c(V + V) \subset V$, nhận thấy rằng vành $A$ sinh bởi $V$ được chứa trong hợp của các tập hợp $Vc^{-n}\ (\ n \geq 0$.