Exercice 24, § 6

a) Montrer que tout sous-groupe du groupe multiplicatif $\mathbf{Q}_p^*$ du corps $p$-adique $\mathbf{Q}_p$ est isomorphe au produit d’un sous-groupe du groupe multiplicatif U des éléments inversibles de $\mathbf{Z}_p$ et d’un sous-groupe additif discret isomorphe à $\mathbf{Z}$ ou à $\{0\}$.

b) Montrer que les sous-groupes compacts du sous-groupe $V = 1 + \mathfrak{p}$ de U sont identiques aux groupes $1 + p^n$ ($n > 0$) (même raisonnement que dans l’exerc. 23 c)).

c) Montrer que pour tout $a \in U$, la suite $(a^{p^n})_{n \in \mathbf{N}}$ tend vers une limite $\alpha$ telle que $\alpha \equiv a$ (mod. $\mathfrak{p}$) et que l’on a $\alpha^p = \alpha$ (on prouvera par récurrence sur $n$ que $a^{p^n} \equiv a^{p^{n-1}}$ (mod. $p^n$)). Montrer que toutes les racines du polynôme $X^{p-1} - 1$ (dans une extension algébriquement close de $\mathbf{Q}_p$) appartiennent à $\mathbf{Q}_p$ et sont deux à deux non congrues mod. $\mathfrak{p}$ (appliquer ce qui précède aux racines de la congruence $x^{p-1} - 1 \equiv 0$ (mod. $p$)). Si $p > 2$ et si $d$ est le pgcd de $n$ et de $p - 1$, le polynôme $X^n - 1$ a exactement $d$ racines dans $\mathbf{Q}_p$, qui sont racines de $X^d - 1$ (même méthode, en prenant pour $a$ une racine de $X^n - 1$).

En déduire que, si $p > 2$, tout sous-groupe compact du groupe multiplicatif $\mathbf{Q}_p^*$ est le produit direct d’un sous-groupe fini de U (formé de racines $(p-1)$èmes de l’unité) et d’un sous-groupe de la forme $1 + p^n$ (utiliser b)). Comment se modifient ces résultats pour $p = 2$? (Faire jouer au groupe $1 + p^2$ le rôle précédemment occupé par $1 + p$.)