Bài tập 24, § 6

(a) Chứng minh rằng mọi nhóm con của nhóm nhân $\mathbf{Q}_p^*$ của trường $p$-adic $\mathbf{Q}_p$ đều đẳng cấu với tích của một nhóm con của nhóm nhân $U$ của các phần tử đơn vị của $\mathbf{Z}_p$ và một nhóm con cộng tính rời rạc đẳng cấu với $\mathbf{Z}$ hoặc $\{0\}$.

(b) Chứng minh rằng các nhóm con compact của nhóm con $V = 1 + \mathfrak{p}$ của $U$ là các nhóm $1 + \mathfrak{p}^n$ [cùng lập luận như trong Bài tập 23 c)].

(c) Chứng minh rằng, với mỗi $a \in U$, dãy $(a^{p^n})_{n \in \mathbf{N}}$ tiến tới một giới hạn $\alpha \equiv a \pmod{\mathfrak{p}}$ và $\alpha^p = \alpha$ [chứng minh rằng $a^{p^n} \equiv a^{p^{n-1}} \pmod{\mathfrak{p}^n}$ bằng quy nạp theo $n$]. Chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức $X^{p-1} - 1$ (trong một mở rộng đóng đại số của $\mathbf{Q}_p$) đều thuộc về $\mathbf{Q}_p$ và từng đôi một không đồng dư mod $\mathfrak{p}$ [áp dụng điều vừa chứng minh cho các nghiệm của đồng dư thức $x^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod{p}$]. Nếu $p > 2$ và nếu $d$ là nhân tử chung cao nhất của $n$ và $p - 1$, đa thức $X^n - 1$ có đúng $d$ nghiệm trong $\mathbf{Q}_p$, là các nghiệm của $X^d - 1$ (cùng phương pháp: lấy $a$ là một nghiệm của $X^n - 1$).

Suy ra rằng, nếu $p > 2$, mọi nhóm con compact của nhóm nhân $\mathbf{Q}_p^*$ là tích trực tiếp của một nhóm con hữu hạn của $U$ [gồm các nghiệm đơn vị bậc $(p-1)$] và một nhóm con có dạng $1 + \mathfrak{p}^n$ [dùng (b)]. Các kết quả này cần được sửa đổi như thế nào đối với $p = 2$? (Cho nhóm $1 + \mathfrak{p}^2$ đóng vai trò trước đây do $1 + \mathfrak{p}$ đảm nhiệm).