Exercice 25, § 6

a) Soit $a \neq 0$ un nombre $p$-adique. Pour que l’application $n \mapsto a^n$ soit continue dans $\mathbf{Z}$ (considéré comme sous-espace de $\mathbf{Q}_p$), il faut et il suffit que $a \in 1 + \mathfrak{p}$. Si cette condition est remplie, montrer que $n \mapsto a^n$ est uniformément continue dans $\mathbf{Z}$ et se prolonge en un homomorphisme continu de $\mathbf{Z}_p$ dans U, notée $x \mapsto a^x$, qui est injectif si $a \neq 1$. Si $p > 2$, et si $m$ est le plus grand entier tel que $a \in 1 + p^m$, $x \mapsto a^x$ est un isomorphisme de $\mathbf{Z}_p$ sur $1 + p^m$. Comment se modifie ce résultat lorsque $p = 2$?

b) Montrer que tout homomorphisme continu de $\mathbf{Z}_p$ dans U est de la forme $x \mapsto a^x$, pour un $a \in 1 + \mathfrak{p}$ (si $f$ est un tel homomorphisme, et $f(1) = a$, on a $f(n) = a^n$ pour $n \in \mathbf{Z}$).

c) Montrer que l’application $(x, y) \mapsto x^y$ est continue dans $(1 + \mathfrak{p}) \times \mathbf{Z}_p$. Si $p > 2$, $b \in \mathbf{Z}_p$, et si $m$ est le plus grand entier tel que $b \in p^m$, l’application $x \mapsto x^b$ est un isomorphisme du groupe multiplicatif $1 + \mathfrak{p}$ sur le sous-groupe multiplicatif $1 + p^{m+1}$ (utiliser l’exerc. 24 b)). Comment se modifie ce résultat lorsque $p = 2$?

d) Si $n$ est un entier premier à $p - 1$ et à $p$, montrer que l’application $x \mapsto x^n$ est un automorphisme du groupe multiplicatif U (utiliser l’exerc. 24 c)).

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