Bài tập 25, § 6

(a) Cho $a \neq 0$ là một số $p$-adic. Khi đó ánh xạ $n \to a^n$ là liên tục trên $\mathbf{Z}$ (như một không gian con của $\mathbf{Q}_p$) khi và chỉ khi $a \in 1 + \mathfrak{p}$. Nếu điều kiện này được thỏa mãn, hãy chứng minh rằng $n \to a^n$ là liên tục đều trên $\mathbf{Z}$ và mở rộng thành một đồng cấu liên tục từ $\mathbf{Z}_p$ vào $U$, được ký hiệu bởi $x \to a^x$, là đơn ánh nếu $a \neq 1$. Nếu $p > 2$ và nếu $m$ là số nguyên lớn nhất sao cho $a \in 1 + \mathfrak{p}^m$, thì $x \to a^x$ là một đẳng cấu từ $\mathbf{Z}_p$ lên $1 + \mathfrak{p}^m$. Cần sửa đổi mệnh đề này như thế nào khi $p = 2$?

(b) Hãy chứng minh rằng mọi đồng cấu liên tục từ $\mathbf{Z}_p$ vào $U$ đều có dạng $x \to a^x$ với một $a \in 1 + \mathfrak{p}$ nào đó [nếu $f$ là một đồng cấu như vậy và $f(1) = a$, thì $f(n) = a^n$ với $n \in \mathbf{Z}$].

(c) Hãy chứng minh rằng ánh xạ $(x, y) \to x^y$ là liên tục trên $(1 + \mathfrak{p}) \times \mathbf{Z}_p$. Nếu $p > 2$ và $b \in \mathbf{Z}_p$, và nếu $m$ là số nguyên lớn nhất sao cho $b \in \mathfrak{p}^m$, thì ánh xạ $x \to x^b$ là một đẳng cấu của nhóm nhân $1 + \mathfrak{p}$ lên nhóm con nhân $1 + \mathfrak{p}^{m+1}$ [dùng Bài tập 24 b)]. Cần sửa đổi mệnh đề này như thế nào khi $p = 2$?

(d) Nếu $n$ là một số nguyên nguyên tố cùng nhau với cả $p - 1$ và $p$, hãy chứng minh rằng ánh xạ $x = x^n$ là một tự đẳng cấu của nhóm nhân $U$ [dùng Bài tập 24 c)].