Exercice 27, § 6

Soient $A$ un anneau topologique intègre séparé, $A'$ l’ensemble des éléments $\neq 0$ de $A$, $R$ la relation d’équivalence $xt = yz$ entre les couples $(x, y)$ et $(z, t)$ dans $A \times A'$; l’ensemble quotient $K = (A \times A')/R$ est le corps des fractions de $A$.

a) On munit $A'$ de la topologie induite par celle de $A$, $A \times A'$ de la topologie produit. Montrer que si la relation $R$ est ouverte, la topologie quotient de celle de $A \times A'$ par $R$ est une topologie séparée sur $K$, compatible avec la structure de corps de $K$.

b) On suppose que, pour tout $a \neq 0$ dans $A$, l’application $x \mapsto ax$ de $A$ dans lui-même soit ouverte. Montrer que $R$ est alors ouverte.

c) On suppose que $K$ est muni d’une topologie $\mathscr{T}$ compatible avec sa structure d’anneau et induisant sur $A$ (plongé canoniquement dans $K$) la topologie donné. Déduire de a) et b) qu’il existe sur $K$ une topologie séparée $\mathscr{T}'$, moins fine que $\mathscr{T}$ et compatible avec la structure de corps de $K$.