Bài tập 27, § 6

Cho $A$ là một vành tôpô nguyên tách, $A'$ là tập hợp các phần tử $\neq 0$ của $A$, $R$ là quan hệ tương đương $xt = yz$ giữa các cặp $(x, y)$ và $(z, t)$ trong $A \times A'$; tập thương $K = (A \times A')/R$ là trường phân thức của $A$.

a) Trang bị cho $A'$ tôpô cảm sinh bởi tôpô của $A$, cho $A \times A'$ tôpô tích. Chứng minh rằng nếu quan hệ $R$ là mở, thì tôpô thương của tôpô của $A \times A'$ bởi $R$ là một tôpô tách trên $K$, tương thích với cấu trúc trường của $K$.

b) Giả sử rằng, với mọi $a \neq 0$ trong $A$, ánh xạ $x \mapsto ax$ của $A$ vào chính nó là mở. Chứng minh rằng khi đó $R$ là mở.

c) Giả sử rằng $K$ được trang bị một tôpô $\mathfrak{T}$ tương thích với cấu trúc vành của nó và cảm sinh trên $A$ (nhúng một cách chính tắc trong $K$) tôpô đã cho. Suy ra từ a) và b) rằng tồn tại trên $K$ một tôpô tách $\mathfrak{T}'$, thô hơn $\mathfrak{T}$ và tương thích với cấu trúc trường của $K$.