Exercice 28, § 6

Soient $E, F$ deux groupes topologiques commutatifs à opérateurs, $u : E \to F, v : F \to E$ deux applications linéaires continues. Montrer que si $u \circ v \circ u = u, u^{-1}(0)$ et $v(u(E))$ sont supplémentaires topologiques dans $E, u(E)$ et $v^{-1}(u^{-1}(0))$ supplémentaires topologiques dans $F$, et que la restriction de $u$ à $v(u(E))$ est un isomorphisme de $v(u(E))$ sur $u(E)$.