Exercice 29, § 6

a) Montrer qu’il existe une suite double $(E_{nm})$ de parties finies symétriques de $\mathbf{Z}$ définies pour $0 \leq n \leq m$, contenant 0, non réduites à 0 pour $m \geq 1$, et vérifiant les conditions suivantes: 1° pour tout $n \geq 0$, les ensembles $E_{n+1,m} + (\bigcup_{r=n+1}^m E_{n+1,r})$, $E_{n+1,m} \cdot (\bigcup_{r=n+1}^m E_{n+1,r})$ et $k \cdot E_{n+1,m}$ pour $k \leq n+1$ sont tous contenus dans la réunion $\bigcup_{s=n}^m E_{ns}$; 2° si on désigne par $y_m$ le plus petit élément $> 0$ de $E_{0,m} - \{0\}$, et par $z_m$ le plus grand élément de $E_{0,m}$, on a $y_{m+1} \geq z_m + m + 1$; 3° $E_{n+1,m} \subset E_{n,m}$. (Supposant les $E_{pq}$ déterminés pour $p \leq q \leq m$, déterminer successivement $E_{m+1,m+1}, E_{m,m+1}, \ldots, E_{0,m+1}$ par récurrence descendante).

b) On désigne par $V_n$ la réunion des $E_{nm}$ pour tous les $m \geq n$. Montrer que $(V_n)$ est un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie sur $\mathbf{Z}$ compatible avec la structure d’anneau de $\mathbf{Z}$, et pour laquelle aucun sous-groupe de $\mathbf{Z}$ autre que $\mathbf{Z}$ n’est ouvert.