Bài tập 29, § 6

a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một dãy kép $(E_{nm})$ các tập con hữu hạn đối xứng của $\mathbf{Z}$ được xác định với $0 \leq n \leq m$, chứa 0, không thu gọn về 0 với $m \geq 1$, và thỏa mãn các điều kiện sau: 1° với mọi $n \geq 0$, các tập hợp $E_{n+1,m} + (\bigcup_{r=n+1}^m E_{n+1,r})$, $E_{n+1,m} \cdot (\bigcup_{r=n+1}^m E_{n+1,r})$ và $k \cdot E_{n+1,m}$ với $k \leq n+1$ đều được chứa trong hợp $\bigcup_{s=n}^m E_{ns}$; 2° nếu $y_m$ ký hiệu phần tử nhỏ nhất $> 0$ của $E_{0,m} - \{0\}$, và $z_m$ là phần tử lớn nhất của $E_{0,m}$, thì có $y_{m+1} \geq z_m + m + 1$; 3° $E_{n+1,m} \subset E_{n,m}$. (Giả sử các $E_{pq}$ được xác định với $p \leq q \leq m$, hãy xác định lần lượt $E_{m+1,m+1}, E_{m,m+1}, \ldots, E_{0,m+1}$ bằng quy nạp giảm dần).

b) Gọi $V_n$ là hợp của các $E_{nm}$ với mọi $m \geq n$. Bây giờ chứng minh rằng $(V_n)$ là một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với một tôpô trên $\mathbf{Z}$ tương thích với cấu trúc vành của $\mathbf{Z}$, và trong đó không có nhóm con nào của $\mathbf{Z}$ khác với $\mathbf{Z}$ là mở.