Exercice 9, § 6

a) On dit qu’un élément $x$ (resp. un idéal a) d’un anneau topologique A est topologiquement nilpotent si la suite $(x^n)_{n \geq 1}$ converge vers 0 (resp. si la base de filtre des $a^n$ ($n \geq 1$) converge vers 0). Tout élément d’un idéal topologiquement nilpotent est topologiquement nilpotent. b) On suppose que $A^*$ est ouvert dans A. Montrer que pour tout élément topologiquement nilpotent $x$ de A, $1 - x$ est inversible (observer que $1 - x^n$ est inversible pour $n$ assez grand). En conclure que si tous les éléments d’un idéal (à gauche ou à droite) a sont topologiquement nilpotents, a est contenu dans le radical de A. c) On suppose que A est complet et qu’il existe un système fondamental de voisinages de 0 formé de sous-groupes du groupe additif de A. Montrer que si $x$ est topologiquement nilpotent, $1 - x$ est inversible dans A. d) Sous les mêmes hypothèses que dans c), montrer que si $y \in A$ est topologiquement nilpotent, l’équation $x^2 + x = y$ admet une racine $x \in A$, qui est un élément topologiquement nilpotent.